24點(diǎn)

游戲玩法

24點(diǎn)是一種益智游戲，24點(diǎn)是把4個(gè)整數(shù)(一般是正整數(shù))通過(guò)加減乘除以及括號(hào)運(yùn)算，使最后的計(jì)算結(jié)果是24的一個(gè)數(shù)學(xué)游戲，24點(diǎn)可以考驗(yàn)人的智力和數(shù)學(xué)敏感性，它能在游戲中提高人們的心算能力。

24點(diǎn)通常是使用撲克牌來(lái)進(jìn)行游戲的，一副牌中抽去大小王后還剩下52張(如果初練也可只用1～10這40張牌)，任意抽取4張牌(稱(chēng)為牌組)，用加、減、乘、除(可加括號(hào))把牌面上的數(shù)算成24。每張牌必須只能用一次，如抽出的牌是3、8、8、9，那么算式為(9-8)×8×3或3×8÷(9-8)或(9-8÷8)×3等。

游戲技巧

“算24點(diǎn)”作為一種撲克牌智力游戲，應(yīng)注意計(jì)算中的技巧問(wèn)題。比如，計(jì)算時(shí)，不能夠把牌面上的4個(gè)數(shù)的不同組合形式——去試，更不能瞎碰亂湊。這里向大家介紹幾種常用的、便于學(xué)習(xí)掌握的方法：

1.利用3×8=24、4×6=24 、12×2=24求解。

把牌面上的四個(gè)數(shù)想辦法湊成3和8、4和6、12和2再相乘求解。如3、3、6、10可組成(10-6÷3)×3=24或(10-3-3)×6=24。又如2、3、3、7可組成(7+3-2)×3=24等。實(shí)踐證明，這種方法是利用率最大、命中率最高的一種方法。

2.利用0、1的運(yùn)算特性求解。

如3、4、4、8可組成3×8+4—4=24等。又如4、5、J、K可組成11×(5—4)+13=24等。

3.在有解的牌組中，用得最為廣泛的是以下六種解法：(在這里用a、b、c、d表示牌面上的四個(gè)數(shù))

①(a—b)×(c+d)

如(10—4)×(2+2)=24等。

②(a+b)÷c×d

如(10+2)÷2×4=24等。

③(a-b÷c)×d

如(3—2÷2)×12=24等。

④(a+b-c)×d

如(9+5—2)×2=24等。

⑤a×b+c—d

如11×3+l—10=24等。

⑥(a-b)×c+d

如(4—l)×6+6=24等。

游戲算法

利用計(jì)算程序來(lái)完成這個(gè)計(jì)算二十四點(diǎn)的程序

方法如下：

首先窮舉的可行性問(wèn)題。把表達(dá)式如下分成三類(lèi)——

1、 無(wú)括號(hào)的簡(jiǎn)單表達(dá)式。

2、 有一個(gè)括號(hào)的簡(jiǎn)單表達(dá)式。

3、 有兩個(gè)括號(hào)的較復(fù)雜表達(dá)式。

在棧中，元素的插入稱(chēng)為壓入(push)或入棧，元素的刪除稱(chēng)為彈出(pop)或退棧。

棧的基本運(yùn)算有三種，其中包括入棧運(yùn)算、退棧運(yùn)算以及讀棧頂元素，這些請(qǐng)參考相關(guān)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)資料。根據(jù)這些基本運(yùn)算就可以用數(shù)組模擬出棧來(lái)。

那么作為棧的著名應(yīng)用，表達(dá)式的計(jì)算可以有兩種方法。

第一種方法：

首先建立兩個(gè)棧，操作數(shù)棧OVS和運(yùn)算符棧OPS。其中，操作數(shù)棧用來(lái)記憶表達(dá)式中的操作數(shù)，其棧頂指針為topv，初始時(shí)為空，即topv=0;運(yùn)算符棧用來(lái)記憶表達(dá)式中的運(yùn)算符，其棧頂指針為topp，初始時(shí)，棧中只有一個(gè)表達(dá)式結(jié)束符，即topp=1，且OPS(1)=‘;’。此處的‘;’即表達(dá)式結(jié)束符。

然后自左至右的掃描待處理的表達(dá)式，并假設(shè)當(dāng)前掃描到的符號(hào)為W，根據(jù)不同的符號(hào)W做如下不同的處理：

1、 若W為操作數(shù)

2、 則將W壓入操作數(shù)棧OVS

3、 且繼續(xù)掃描下一個(gè)字符

4、 若W為運(yùn)算符

5、 則根據(jù)運(yùn)算符的性質(zhì)做相應(yīng)的處理：

6、若運(yùn)算符為左括號(hào)或者運(yùn)算符的優(yōu)先級(jí)大于運(yùn)算符棧棧頂?shù)倪\(yùn)算符(即OPS(top))，則將運(yùn)算符W壓入運(yùn)算符棧OPS，并繼續(xù)掃描下一個(gè)字符。

7、若運(yùn)算符W為表達(dá)式結(jié)束符‘;’且運(yùn)算符棧棧頂?shù)倪\(yùn)算符也為表達(dá)式結(jié)束符(即OPS(topp)=’;’)，則處理過(guò)程結(jié)束，此時(shí)，操作數(shù)棧棧頂元素(即OVS(topv))即為表達(dá)式的值。

8、若運(yùn)算符W為右括號(hào)且運(yùn)算符棧棧頂?shù)倪\(yùn)算符為左括號(hào)(即OPS(topp)=’(‘)，則將左括號(hào)從運(yùn)算符棧談出，且繼續(xù)掃描下一個(gè)符號(hào)。

9、若運(yùn)算符的右不大于運(yùn)算符棧棧頂?shù)倪\(yùn)算符(即OPS(topp))，則從操作數(shù)棧OVS中彈出兩個(gè)操作數(shù)，設(shè)先后彈出的操作數(shù)為a、b，再?gòu)倪\(yùn)算符棧OPS中彈出一個(gè)運(yùn)算符，設(shè)為+，然后作運(yùn)算a+b，并將運(yùn)算結(jié)果壓入操作數(shù)棧OVS。本次的運(yùn)算符下次將重新考慮。

第二種方法：

首先對(duì)表達(dá)式進(jìn)行線性化，然后將線性表達(dá)式轉(zhuǎn)換成機(jī)器指令序列以便進(jìn)行求值。

那么什么是表達(dá)式的線性化呢?人們所習(xí)慣的表達(dá)式的表達(dá)方法稱(chēng)為中綴表示。中綴表示的特點(diǎn)是運(yùn)算符位于運(yùn)算對(duì)象的中間。但這種表示方式，有時(shí)必須借助括號(hào)才能將運(yùn)算順序表達(dá)清楚，而且處理也比較復(fù)雜。

1929年，波蘭邏輯學(xué)家Lukasiewicz提出一種不用括號(hào)的邏輯符號(hào)體系，后來(lái)人們稱(chēng)之為波蘭表示法(Polish notation)。波蘭表達(dá)式的特點(diǎn)是運(yùn)算符位于運(yùn)算對(duì)象的后面，因此稱(chēng)為后綴表示。在對(duì)波蘭表達(dá)式進(jìn)行運(yùn)算，嚴(yán)格按照自左至右的順序進(jìn)行。下面給出一些表達(dá)式及其相應(yīng)的波蘭表達(dá)式。

表達(dá)式波蘭表達(dá)式

A-B AB-

OK，所謂表達(dá)式的線性化是指將中綴表達(dá)的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為波蘭表達(dá)式。對(duì)于每一個(gè)表達(dá)式，利用?？梢园驯磉_(dá)式變換成波蘭表達(dá)式，也可以利用棧來(lái)計(jì)算波蘭表達(dá)式的值。

至于轉(zhuǎn)換和計(jì)算的過(guò)程和第一種方法大同小異，這里就不再贅述了。

下面給出轉(zhuǎn)換和計(jì)算的具體實(shí)現(xiàn)程序——

這樣這個(gè)程序基本上就算解決了，回過(guò)頭來(lái)拿這個(gè)程序來(lái)算一算文章開(kāi)始的那個(gè)問(wèn)題。很快就算出來(lái)了，原來(lái)如此簡(jiǎn)單——(6-3)*10-6=24。

游戲例題

例題1：

3388：解法8/(3-8/3)=24　按第一種方法來(lái)算，假如有8就先找3，這里可能有人會(huì)問(wèn)這里面并沒(méi)有3，其實(shí)除以1/3，就是乘3.

例題2：

5551：解法5*(5-1/5) 這道題型比較特殊，5*4.8算是比較少見(jiàn)，一般的簡(jiǎn)便算法都是3*8，2*12，4*6，15+9，25-1，但5*4.8也是其中一種

一般情況下，先要看4張牌中是否有2，3，4，6，8，Q，

如果有，考慮用乘法，將剩余的3個(gè)數(shù)湊成對(duì)應(yīng)數(shù)。如果有兩個(gè)相同的6，8，Q，比如已有兩個(gè)6，剩下的只要能湊成3，4，5都能算出24，已有兩個(gè)8，剩下的只要能湊成2，3，4，已有兩個(gè)Q，剩下的只要能湊成1，2，3都能算出24，比如(9，J，Q，Q)。如果沒(méi)有2，3，4，6，8，Q，看是否能先把兩個(gè)數(shù)湊成其中之一。總之，乘法是很重要的，24是30以下公因數(shù)最多的整數(shù)。

(2)將4張牌加加減減，或者將其中兩數(shù)相乘再加上某數(shù)，相對(duì)容易。

(3)先相乘再減去某數(shù)，有時(shí)不易想到。例如(4，10，10，J)

(6，10，10，K)

(4)必須用到乘法，且在計(jì)算過(guò)程中有分?jǐn)?shù)出現(xiàn)。有一個(gè)規(guī)律，設(shè)4個(gè)數(shù)為a，b，c，d。必有ab+c=24或ab-c=24 d=a或b。若d=a 有a(b+c/a)=24 或 a(b-c/a)=24 如最常見(jiàn)的(1，5，5，5)，

(2，5，5，10)因?yàn)榧s分的原因也歸入此列。(5，7，7，J)

(4，4，7，7)(3，3，7，7)等等。(3，7，9，K)是個(gè)例外，可惜還有另一種常規(guī)方法，降低了難度。只能用此法的只有10個(gè)。

(5)必須用到除法，且在計(jì)算過(guò)程中有分?jǐn)?shù)出現(xiàn)。這種比較難，比如(1，4，5，6)，(3，3，8，8)(1，8，Q，Q)等等。

只能用此法的更少，只有7種。

(6)必須用到除法，且在計(jì)算過(guò)程中有較大數(shù)出現(xiàn)，不過(guò)有時(shí)可以利用平方差公式或提公因數(shù)等方法不必算出這個(gè)較大數(shù)具體等于幾。比如(3，5，7，K)，(1，6，J，K)等等。只能用此法的只有16種。

(7)最特殊的是(6，9，9，10)，9*10/6+9=24，9是3的倍數(shù)，10是2的倍數(shù)，兩數(shù)相乘的積才能整除6，再也找不出第二個(gè)類(lèi)似的只能用此法解決的題目了。

需要說(shuō)明的是：經(jīng)計(jì)算機(jī)準(zhǔn)確計(jì)算，一副牌(52張)中，任意抽取4張可有1820種不同組合，其中有458個(gè)牌組算不出24點(diǎn)，如A、A、A、5。 有1362個(gè)牌組算得出24點(diǎn)。

當(dāng)然在一些喜歡數(shù)學(xué)的玩家而言，組合中部分無(wú)法計(jì)算出24點(diǎn)的組合：如之前舉出的如：A、A、A、5， 2、3、3、5， 可以通過(guò)冪次方的方式計(jì)算得出24點(diǎn)。

例題3： A、A、A、5

計(jì)算方法：5的2次方減1 (要點(diǎn)：A+A=2)

例題4： 2、3、3、5

計(jì)算方法一 3的2次方加15 (要點(diǎn)：3*5等于15)

計(jì)算方法二 5的2次方減1 (要點(diǎn)：3/3=1)

計(jì)算方法三 3的3次方減3 (要點(diǎn)：5-2=3)